2016/12/24
3.共変微分 実は、ベクトル場の偏微分がテンソルとならないのは、その量がRiemann空間から「飛び出している」からである。 それはいったいどういうことなのか、曲面上のベクトルを例にして考えていく。 「全ての物理法則はテンソル形式（と共変微分）を用いて記述されねばならない」 これが正しいのであれば、本腰を入れてテンソルと共変微分を習得しないと物理やったことにはならないという教えなのでしょうね。 微分形式の場合、外積(クロス積)の計算方法を知っていれば 外積代数や多様体の知識がなくても計算はできる。 だが、微分形式の計算法だけ知っていても 裏側にある数学が見えていないと理解はできない。 連続体力学において，連続体の変形を表わすのに二階のテンソルが活躍します．連続体の変位を ，座標成分を ，歪み速度を と置き，以下のようなテンソルが使用されます．テンソルの知識が何も無いと，変な定義だと思うでしょうが，変位を表わすテンソル と変位の速度を表わすテンソル を などで復習されれば、上記の変分の表現が次式の共変微分の差の形で表される事が解ります。 上記の最後の式変形 j u j =∂ j u j 、等々については別稿6．（3）7．[補足説明1]の重さ1の相対テンソルの共変微分の表現式を復習されたし。 1.7 多重線形形式 1.8 テンソル場および微分形式 1.9 多様体の向き 1.10 微分形式の積分およびStokesの定理 2 de Rhamコホモロジー群 2.1 de Rhamコホモロジー群の定義 2.2 Poincar´eの補題 2.3 幾つかの例 2.4 de Rhamの定理 3 ∗-作用素 3.1 ベクトル空間の内積 3.2 交代形式の 重点解説 基礎微分幾何 ～ 曲面，多様体，テンソル，微分形式，リーマン幾何 | 塩谷 隆 /Shioya, Takashi | download | B–OK.
テンソルに対する接続を考慮したもので、テンソルの共変成分の階数を一つ上げる微分演算を共変微分（covariant derivative）と呼ぶ 。 共変微分は、テンソルの和の共変微分、積の共変微分に関して、普通の偏微分と全く同じ法則に従う。 外積、テンソルについて書いています。 ローレンツ力と相対性理論: 磁場は電場の相対論的効果だった話です。 ローレンツ力を使って、導線が作る磁場を使って説明です。 微分形式: 多様体の話の続きです。 微分幾何学の言葉では、この微分は 1-形式であり、閉である（微分は 0 である）が完全ではない（0-形式、すなわち関数、の微分ではない）。 そして実は 原点を除いた平面 （ 英語版 ） の一次 ド・ラームコホモロジー を生成する。 ベクトル、1-形式、テンソル テンソルの話を数学よりにして見直します。カルタンの方程式を出すことを目的にしています。 ベクトル、1-形式、テンソルは太字で書いています。 より細かい話は「多様体」のほうでしています。 k 次微分形式の外微分は k + 1 次微分形式である。 f が滑らかな関数（ 0 形式）であれば、 f の外微分 df は f の全微分 df である。つまり、 df は 任意の滑らかなベクトル場 X に対して、 df(X) = d X f （ただし d X f は X 方向への f の方向微分）。 ベクトルとテンソル（吉田）v8.0 2018/03/30 4 時刻t のときの位置から時刻t+∆t のときの位置に向かって引いた矢印であって（図1.1）、ベ
なお、こ. の定理は、各場の微分量として、勾配、発散、回転に. 対する積分表現となる。この種々の形式による発散定. 理では、前述したナブラと曲面の外向き単位法線ベク. テンソルの成分数. スカラー. （0階のテンソル）. ベクトル. （1階のテンソル）. テンソル. （m階のテンソル） の形式で表示することとするが，基本的に行列とテンソルは異なるもの. である． ２階のテンソルの 任意のテンソルを微分する. と，階数が１階増加する． ところが数学専攻でない人にはまだよく知られていないので、微分形式の基礎と応用を多くの方に知ってもらうために著した。 序論第１章 テンソル積と外積第２章 接空間と双対 この中に一般相対性理論で必須の共変微分、曲率テンソル、平行移動の説明が含ま ガウスはこの2つの基本量（2つの基本微分形式）を使って曲面の幾何学を研究してい 1. テンソル／2. 対称テンソルと反対称テンソル／3. テンソルの物理学への応用／4. テンソルの座標軸の変換／5. 主軸問題 8 付 録 1. 二重・三重積分／2. 微分形式
第1回, テンソル積，外積代数. 第2回, ユークリッド空間上の微分形式 1. 第3回, ユークリッド空間上の微分形式 2. 第4回, 3次元ユークリッド空間上のベクトル解析.
テンソル（英: tensor, 独: Tensor ）とは、線形的な量または線形的な幾何概念を一般化したもので、基底を選べば、多次元の配列として表現できるようなものである。 2012年度全学体験ゼミナール 電磁気学で使う数学：付録 微分形式とマックスウェル方程式 2 月5 日清野和彦 この付録では、第1章から第3章までで学んだ場の積分、場の微分、それらに関する「微積分の *5: 学生時代、何冊か微分幾何学の教科書を読みましたが、何れの教科書も何の脈絡も無く唐突に微分形式やテンソル場の話をされることが多く、理由が分からないまま既成事実としてテンソルが使われているという状況にずっとモヤモヤしていました。 外微分. 実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は 講義ノートの目次へ 微分形式と，それを使った幾何学の講義ノート。 微分形式を使うと，物理学の法則を美しくシンプルに記述できる。例えば，マクスウェル方程式を微分形式で書くと・・・ これだけで済む。 また，ベクトル解析の「ストークスの定理」を微分形式で書くと・・・ となる この記事であつかうテンソルは、行列とそっくりな2階のテンソルです（しかも2x2という単純な・・・）。でも、2階のテンソルさえわかれば他のテンソルも理解できると思うんですよね。 6．テンソル解析学（絶対微分学） テンソル解析学（絶対微分学）は、1901年のRicci、Levi-Civita共著論文『絶対微分学の方法とその応用』で確立された。 本稿は、“リーマン空間”の上で展開されるテンソル解析学の説明です。